Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan ini adalah  dengan , a, b, dan c adalah koefisien dan x merupakan variabelnya.

Jika digambar dalam koordinat Cartesius, persamaan ini akan berbentuk parabola yang bentuknya ditentukan oleh nilai a.
Jika a > 0 maka parabolanya terbuka ke atas, dan jika  a < 0, maka parabolanya terbuka ke bawah. Sumbu simetrinya terletak pada . Sedangkan c menentukan titik potong terhadap sumbu y saat x = 0.

Penyelesaian Akar-Akar Persamaan Kuadrat 

Ada tiga metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikannya, yaitu memfaktorkan, menggunakan rumus abc, atau menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.  Semuanya menghasilkan nilai yang sama, namun beberapa metode memiliki kelebihan tersendiri, dan terkadang salah satu metode lebih mudah digunakan daripada metode lain untuk bentuk persamaan kuadrat tertentu.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Nilai  biasa disebut dengan diskriminan, atau D.
Jika D > 0, maka akar-akarnya real dan berlainan.

Jika D = 0, maka akar-akarnya real dan kembar. Sedangkan jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar-akar real.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax² + bx + c =o  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

    Contoh :

    a. X² + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

    b. X²  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7)

    c. X² -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3)

    d. 2x² – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3)

    e. 3x² – 6x         = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)² = q

      Ada beberapa langkah, yaitu :

      1.  Koefisien x² harus 1

      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x² + mx = n

      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = q

   

    Contoh :

    a. x² + 8x + 12            = 0

        x² + 8x                     = -12

        x² + 8x + (1/2 . 8)² = -12 + (1/2 . 8)²

        x²   + 8x + 16          = -12 + 16

               (x + 4)²             = 4

                x + 4                = ±√4

                      x                 = -4 ± 2

                      x                 = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a

   Contoh :

    a. x² + 8x + 5 => x_1,2 = { -8 ± √(8² – 4.1.5) } / 2.1

                                          = { -8 ± √(64 – 20) } / 2

                                          = ( -8 ± √39 ) / 2

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dari x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a dengan D = b² - 4ac maka x₁ = (-b + √D) / 2adan x₂ = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan

1. x₁ + x₂ = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a
Jadi, x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ - x₂ = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x₁ - x₂ = √D/a

3. x₁ . x₂ = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b² - D) / 4a²

                  = b² - (b² - 4ac) / 4a²

                  = (b² - b² + 4ac) / 4a²

                  = 4ac / 4a²

                  = c/a

Jadi, x₁ . x₂ = c/a

4. (x₁ + x₂)² = x₁² + 2(x₁ . x₂) + x₂²
     (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂) = x₁² + x₂²
Jadi, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂)

5. (x₁ + x₂)³ = x₁³+ 3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² + x₂³
       (x₁ + x₂)³ -  3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² = x₁³ + x₂³ 
              (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)  = x₁³ + x₂³  
Jadi, x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x₁ dan x₂ yaitu,

1. (x - x₁) (x - x₂) = 0

2.X² - (x₁ + x₂ )(x₁ . x₂) = 0

Contoh Soal

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:         (x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.